Kant, filosofie en wiskunde

In dit stuk  staat de vraag in hoeverre Russells kritiek op Kants filosofie van de wiskunde terecht is centraal. Hierbij staat de vraag wat de grond voor wiskundige oordelen is voorop. Zijn het de zuivere vormen van de aanschouwing, ruime en tijd, zoals Kant zei, of is het de formele logica, zoals Russell zei? Gedurende deze bijeenkomst zal ik proberen te achterhalen of formele logica in de Russelliaanse zin en wiskunde in een funderingsrelatie kunnen staan. Hierbij bespreek ik eerst de positie van Kant, daarna die van Russell en ten slotte zal ik een argument tegen Russells positie van Jonas Cohn bespreken.

Kants filosofie van de wiskunde.
Wiskundige uitspraken kunnen in Kants optiek niet worden terug gebracht tot logische waarheden. Rekenkundige en geometrische uitspraken zijn niet analytisch a priori, ze zijn synthetische a priori. En ze zijn niet slechts conceptueel. Wiskundige uitspraken hebben altijd betrekking op de zuivere vormen van de aanschouwing. Volgens Kant zijn wiskundige uitspraken constructies van zuivere begrippen in de zuivere vormen van de aanschouwing. Rekenkunde gaat om constructies van eenheden die elkaar in de tijd opvolgen. Euclidische geometrie gaat om constructies van begrippen in de ruimte.

 Er bestaan drie soorten oordelen: analytische oordelen, synthetische oordelen a priori en synthetische oordelen a postriori. Analytische oordelen zijn waar omdat het predicaat bij het subject hoort en de zin dat de negatie er van een contradictie oplevert. Analytische oordelen kunnen dus uit het principe van non-contradictie worden afgeleid. Bij synthetische oordelen is dut niet mogelijk. Deze oordelen hebben het principe van non-contradictie wel als negatief principe (ze mogen het dus niet schenden), maar synthetische oordelen kunnen niet uit het principe van non-contradictie worden afgeleid zonder nog een synthetisch principe. Analytische oordelen zijn slechts oordelen die begrippen verhelderen. Synthetische oordelen breiden begrippen uit.

Wiskundige oordelen zijn synthetisch a priori. Want, het verband tussen de begrippen in een wiskundig oordeel is noodzakelijk, maar deze noodzakelijkheid is nooit onmiddellijk, maar bemiddeld door de vormen van de aanschouwing. Dit geldt voor de rekenkunde, de algebra en de (Euclidische) geometrie. Neem de uitspraak 7 +5 = 12. Indien dit oordeel analytisch is zou het moeten volgen uit het principe van non-contradictie. Het zou dus puur conceptueel moeten zijn. Maar in het begrip van de som van 5 en 7 vinden we niks behalve de vereniging van beide getallen. Het begrip van 12 is hier niet in mee gedacht. Ik kan de vereniging van 7 en 5 net zolang ontleden als ik wil, ik zal 12 nooit aantreffen. Omdat 12 aan te treffen zal ik voorbij de begrippen moeten gaan naar de aanschouwing toe. 7 + 5 = 12 houdt dus een begripsuitbreiding in.

 Dit gaat ook op voor de Euclidische geometrie. De definities en axioma’s van de Euclidische meetkunde kunnen nooit analytisch zijn. Zo kan dat een rechte lijn de kortste afstand is tussen twee punten op een Euclidisch vlak nooit analytisch zijn. Want mij begrip van een lijn bevat niets over grootte en afstanden. Ik kan een rechte lijn pas begrijpen als de kortste afstand tussen twee punten via de (zuivere) ruimte.

 Er zijn overigens ook een aantal wiskundige principes die in de geometrie gebruikt worden die wel analytisch zijn. Kant noemt a =a en (a+ b) > a als voorbeelden. Want deze wiskundige principes kunnen uit het principe van non-contradictie worden afgeleid. Maar zelfs deze oordelen worden in de wiskunde volgens Kant alleen maar toegestaan omdat ze gerepresenteerd kunnen worden in de vormen van de aanschouwing.

 Wiskunde kenmerkt zich er door dat het geen kennis uit begrippen betreft, maar constructies van begrippen in de vormen van de aanschouwing.

In het hoofdstuk over de zuivere wiskunde werkt Kant de bovengenoemde punten verder uit.

Hierbij is de vraag hoe het mogelijk is om iets a priori te aanschouwen van groot belang. Maar het gaat in de wiskunde om de aanschouwing die aan elke waarneming van dingen vooraf gaat. We hebben hier met de zuivere aanschouwing te maken, dus met de vorm van de zintuiglijkheid. Door deze vorm van de aanschouwing kunnen we a priori aanschouwen.

 Indien we alles wat tot de Empfindungen behoort wegdenkt, houden we zuivere ruimte en zuivere tijd als de zuivere vormen van de aanschouwing over. De waarheden van de zuivere wiskunde hebben hier betrekking op.

 Aan de Euclidische geometrie heeft de zuivere externe vorm van de aanschouwing (ruimte) als basis, rekenkunde heeft de zuivere vorm van de interne aanschouwing (tijd) als basis. In de rekenkunde komt het getalbegrip tot stand door successievelijke toevoegingen van eenheden in de tijd. Ook kan mechanica de principes van de beweging pas representeren via de tijd.

Dat twee driehoeken op een bol die elk op een andere hemisfeer staan, met de evenaar als basis, volledig gelijk zijn kan nooit uit de begrippen alleen gehaald worden. Dit blijkt alleen waar te zijn als het een constructie in de zuivere ruimte is. Ditzelfde geldt voor alle waarheden binnen de Euclidische geometrie.

 De oordelen die over de zuivere vorm van de aanschouwing gaan, minstens o.a. wiskunde, gelden voor alle objecten van de zinnen. En de aanschouwing die a priori mogelijk zijn betreffen alleen de objecten voor onze zinnen. Maar wel voor zo ver het hier de vorm van de zintuiglijkheid betreft.

 In dat wat voor de zuivere vormen van de aanschouwing geldt, ook geldt voor de zintuiglijke vorm van de objecten van de aanschouwing, kunnen we ook Kants verklaring vinden waarom wiskunde van toepassing is op de natuur.

Russells filosofie van de wiskunde.

 Russell zag zijn logica als de logica van de filosofie en de wetenschappen.
Volgens Russell zijn wiskundige uitspraken wel te reduceren tot logische uitspraken. Het is in zijn optiek onwaar dat wiskundige uitspraken niet los van ruimte en tijd gezien kunnen worden. Russell werk dit idee uit via zijn logicisme. Het logicisme houdt in dat elke uitspraak wiskundig is als deze terug gebracht kan worden tot een uitspraak die alleen uit variabelen en logische constanten bestaat. En voor het bestaan van variabelen en logische constanten zijn de vormen van aanschouwing niet relevant.

 Een ander punt binnen Russells filosofie is dat wiskunde niet om constructies van begrippen die bemiddeld zijn door ruimte of tijd gaat, omdat ruimte en tijd zelf wiskundige bepalingen hebben. Wiskunde heeft dus het primaat, ruimte en tijd niet.

De propositielogica van Russell heeft tien axioma’s. Onthoud dat implicatie als



‘~pvq’ gedefinieerd is. Dit zijn:



(1) If p implies q, then p implies q.



(2) If p implies q, then p implies p.



(3) If p implies q, then q implies q.



(4) If p implies p, then if q implies q, pq means that if p implies that q implies r, and then r is true.



(5) If p implies p and q implies q, then pq implies p



(6) If p implies q and q implies r, then p implies r.



(7) If q implies q and r implies r, and if p implies that q implies r, then pq implies r.



(8) If p implies p and q implies q, then if pq implies r, then p implies that q implies r.



(9) If p implies q and p implies r, then p implies qr.



If p implies p and q implies q, then ‘‘ ‘p implies q’ implies p’’ implies p.

 De calculus met klassen heeft drie fundamentele noties en twee axioma’s. De fundamentele noties zijn:

(a) De relatie van een individu tot zijn klasse,

(b)Propositionele functie,

(c) Zodanig dat.


De axioma’s zijn:

 (1) If x belongs to the class of terms satisfying a propositional function Φx, then Φx is true.



(2) If Φx and Ψx are equivalent propositions for all values of x, then the class of x’s such that
Φ x is true is identical the class of x’s such Ψ x is true.

Een axioma van de logica van relaties is:

 (1) Every relation has a converse, i.e. that, if R be any relation, there is a relation R’ such that xRy is equivalent to yR’x for all values of x and y.

 Maar het is strikt genomen niet nodig om axioma’s voor relaties te geven, want relaties kunnen worden uitgedrukt als logische sommen van klassen van relaties.

Russell begrijpt kardinale getallen als klassen van klassen. Dus het getal 2 is de klasse van alle koppels. Dit wordt begrepen als dat alle klassen binnen een klasse van klassen in een 1-1 duidige relatie staan.

Russell vat het optellen van getallen op als logische additie. Elke vorm van optellen is te reduceren tot logische additie. Logische additie wordt gegeven door disjuncties van proposities, als in p v q, of als disjuncties van klassen, als in u v v. Rekenkundig optellen gaat door van een klasse van klassen de logische som, dus de disjunctie te nemen.

Om te voorkomen dat bij sommen als 1+ 1 het getal 1 twee maal gebruikt moet worden, wat niet kan omdat er maar één 1 is, ziet Russell de logische som zoals die doorwerkt in rekenkunde als volgt:

 1 + 1 is het getal van een klasse w en w is de logische som van de klasse u en de klasse v z.d.d. u en v geen leden gemeen hebben en u en v hebben beide slechts één lid.

In Russells systeem worden de axioma’s van Peano Rekenkunde, de belangrijkste formalisering van rekenkunde met natuurlijke getallen, niet als echte axioma’s gezien, maar als stellingen die worden afgeleid uit Russells logische principes. Dit geldt voor alle takken van de wiskunde. De axioma’s van al deze takken zijn stellingen die kunnen worden afgeleid uit de axioma’s van de logica.

De axioma’s van Peano Rekenkunde zijn:

The fundamental notions are: 0, finite integer, and successor of. The fundamental propositions are:

1. 0 is a number.

2. If a is a number, the successor of a is a number.

3. If two numbers have the same successor, these two numbers are identical.

4. 0 is not the successor of any number.

5. If s be a class to which o belongs, and also the successor of every number belonging to s, then every number belongs to s.[1]

In Russells system worden zij:

(i) There is a class of entities that belongs to aleph-0, such that:

(ii)     0 is the class of classes whose only member is the null-class.

(iii)      A number is the class of all classes similar to anyone of themselves.

(iv)     1 is the class of all classes which are not null, and are such that, if x belongs to the class, the class without x is the null-class or, if x and y belong to the class, then they are identical.

(v) Having shown that if two classes are similar, and a class of one term is added to each, the sums are the same. We define that, given any number, n+1 is the number that is the result of adding a unit to a class of n terms.
(vi) Finite numbers are those numbers belonging to every class s to which 0 belongs, and to which, if n belongs, n + 1 belongs.

We zien hier dat Peano Rekenkunde zo wordt herschreven dat er alleen maar variabelen en logische constanten overblijven. Want de getallen worden gezien als 1-1 duidige correspondenties tussen klassen en voor de rest staan er alleen logische constanten als klasse, lid zijn van een klasse, niet, alle, en relatie (zoals identiteit).

Kritiek.
Jonas Cohn heeft opgemerkt dat Russells logica al getallen voorondersteld. Want, zijn definitie van getallen als klassen van klassen voorondersteld de eenheid van klassen en de eenheid van het object van de klasse in kwestie.

 Bovendien kunnen we uit de onvolledigheidstelling 1 en 2 concluderen dat wiskunde niet volledig kan worden gevat binnen een axiomatisch systeem zoals de Principa Mathematica. Want, er zullen altijd stellingen zijn die waar zijn, maar niet binnen het beschikbare axiomatische systeem te bewijzen zijn. Dus, er zijn om de onvolledigheidstelling zelf te formuleren al logische bepalingen nodig die niet binnen geaxiomatiseerde systeem te vatten kunnen zijn. Dus, logica kan uiteindelijk niet een axiomatisch systeem zijn.






[1] Formalized, and with the axioms about multiplication Peano Arithmetic becomes: Let ‘S’ be the successor-function.

(x) (y) (Sx = Sy à x = y)

(x) ~( Sx = 0)

(x) ( x + 0 =x)

(x) (y) ((x + Sy) = (S(x + y))

(x) ( x . 0 = x)

(x) (y) (( x . Sy) = (x . y +x))

(Φ0 & (n) (Φn à S(Φn)) à (n) (Φn))))